Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

1\underline{o} Esonero di Analisi II (secondi 5 crediti) per Ingegneria Elettronica Compito (A) 27–01-07 A.A. 2006/2007

Problema n.1 (5) Siano z_{1} e z_{2} le soluzioni della equazione z^{2} −5z +7+i = 0. Si calcoli z_{1} +2z_{2} e 2z_{1} +z_{2}. Si mostrino i passaggi

Problema n.3 (5) Si trovi la funzione reale u(x, y), (x, y) ∈ R^{2} tale che la funzione f(z) = u(x, y) + i(−4xy + y) sia olomorfa in tutto C^{2}. Si mostrino i passaggi

Problema n.4 (8) Sia data la funzione (\frac{2z − 1}{z^{2}})\frac{1}{z^{2} − 5z + 7 + i}. Stabilire l’insieme in cui è olomorfa.

1) Si scriva lo sviluppo di Laurent centrato nel punto z_{0} = 0 e dire quale è il più grande raggio r per cui lo sviluppo converge per ogni z nell’insieme 0 < |z| < r

2) Si calcoli il residuo della funzione in z = 0. Si calcoli il residuo nella più vicina singolarità a z = 0

Problema n.5 (8) Si calcoli l’integrale ∫_{−∞}^{+∞} dx\frac{−2x + 1}{x^{4} + 16}

Problema n.7 (7) Si calcoli l’integrale della funzione f(z) = \frac{1}{1 + z^{2}} esteso alla curva complessa z(t) =

x(t) + iy(t) di parametrizzazione x = −t, y = 2 − 2t^{2}, −1 ≤ t ≤ 1 1\underline{o} Esonero di Analisi II (secondi 5 crediti) per Ingegneria Elettronica Compito (B)

27–01-07 A.A. 2006/2007

Problema n.1 (5) Siano z_{1} e z_{2} le soluzioni della equazione z^{2} − z(5 + 2i) + 5 + 5i = 0. Si calcoli z_{1} + 2z_{2} e 2z_{1} + z_{2}. Si mostrino i passaggi

Problema n.3 (5) Si trovi la funzione reale u(x, y), (x, y) ∈ R^{2} tale che la funzione f(z) = u(x, y) + i(−2xy + y) sia olomorfa in tutto C^{2}. Si mostrino i passaggi

Problema n.4 (8) Sia data la funzione (\frac{−2z − 1}{z^{2}})\frac{1}{z^{2} − z(5 + 2i) + 5 + 5i}. Stabilire l’insieme in cui è olo-

morfa.

1) Si scriva lo sviluppo di Laurent centrato nel punto z_{0} = 0 e dire quale è il più grande raggio r per cui lo sviluppo converge per ogni z nell’insieme 0 < |z| < r

2) Si calcoli il residuo della funzione in z = 0. Si calcoli il residuo nella più vicina singolarità a z = 0

Problema n.5 (8) Si calcoli l’integrale ∫_{−∞}^{+∞} dx\frac{x − 2}{x^{4} + 1}

Problema n.7 (7) Si calcoli l’integrale della funzione f(z) = \frac{1}{1 + z^{2}} esteso alla curva complessa z(t) =

x(t) + iy(t) di parametrizzazione x = −t, y = 3 − t^{2}, −\sqrt{3} ≤ t ≤ \sqrt{3} 1\underline{o} Esonero di Analisi II (secondi 5 crediti) per Ingegneria Elettronica Compito (C)

27–01-07 A.A. 2006/2007

Problema n.1 (5) Siano z_{1} e z_{2} le soluzioni della equazione z^{2} − 5z + 7 − i = 0. Si calcoli z_{1} + 2z_{2} e 2z_{1} + z_{2}. Si mostrino i passaggi

Problema n.3 (5) Si trovi la funzione reale u(x, y), (x, y) ∈ R^{2} tale che la funzione f(z) = u(x, y)+i(2xy− 2y) sia olomorfa in tutto C^{2}. Si mostrino i passaggi

Problema n.4 (8) Sia data la funzione (\frac{−2z + 1}{z^{2}})\frac{1}{z^{2} − 5z + 7 − i}. Stabilire l’insieme in cui è olomorfa.

1) Si scriva lo sviluppo di Laurent centrato nel punto z_{0} = 0 e dire quale è il più grande raggio r per cui lo sviluppo converge per ogni z nell’insieme 0 < |z| < r

2) Si calcoli il residuo della funzione in z = 0. Si calcoli il residuo nella più vicina singolarità a z = 0

Problema n.5 (8) Si calcoli l’integrale ∫_{−∞}^{+∞} dx\frac{−x + 1}{x^{4} + 81}

Problema n.7 (7) Si calcoli l’integrale della funzione f(z) = \frac{1}{1 + z^{2}} esteso alla curva complessa z(t) =

x(t) + iy(t) di parametrizzazione x = −t, y = 3 − 9t^{2}, −1/\sqrt{3} ≤ t ≤ 1/\sqrt{3} 1\underline{o} Esonero di Analisi II (secondi 5 crediti) per Ingegneria Elettronica Compito (D)

27–01-07 A.A. 2006/2007

Problema n.1 (5) Siano z_{1} e z_{2} le soluzioni della equazione z^{2} + z(−5 + 2i) + 5 − 5i = 0. Si calcoli z_{1} + 2z_{2} e 2z_{1} + z_{2}. Si mostrino i passaggi

Problema n.3 (5) Si trovi la funzione reale u(x, y), (x, y) ∈ R^{2} tale che la funzione f(z) = u(x, y)+i(2xy+ 2y) sia olomorfa in tutto C^{2}. Si mostrino i passaggi

Problema n.4 (8) Sia data la funzione (\frac{z − 2}{z^{2}})\frac{1}{z^{2} + z(−5 + 2i) + 5 − 5i}. Stabilire l’insieme in cui è olo-

morfa.

1) Si scriva lo sviluppo di Laurent centrato nel punto z_{0} = 0 e dire quale è il più grande raggio r per cui lo sviluppo converge per ogni z nell’insieme 0 < |z| < r

2) Si calcoli il residuo della funzione in z = 0. Si calcoli il residuo nella più vicina singolarità a z = 0

Problema n.5 (8) Si calcoli l’integrale ∫_{−∞}^{+∞} dx\frac{x + 2}{x^{4} + 256}

Problema n.7 (7) Si calcoli l’integrale della funzione f(z) = \frac{1}{1 + z^{2}} esteso alla curva complessa z(t) =

x(t) + iy(t) di parametrizzazione x = t, y = −2 + 2t^{2}, −1 ≤ t ≤ 1